福建省福州三中2009—2010学年高一第一学期半期考数学试卷

发布时间:2021-09-16 19:14:13

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福州三中 2009—2010 学年度高一第一学期半期考

数 学 试 题
第 I 卷(模块 1 评估卷,共 100 分)
一,选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是正确的) 1.设集合 M={x|y=x2-4},N={y|y=x2-4,x∈R},则集合 M 与 N 的关系是 ( ) C.M N ≠ D.N M ≠

A.M=N

B.N∈M

2.已知全集 U=R,集合 M={x|0≤x≤4}和 N={x|x=2k,k∈N}的关系的韦恩 (Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个 . 3.三个数 a=0.67, b=30 6, c=log0.67 的大小关系为 ( A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b 4.以下四组函数中,表示同一函数的是 ( A. y =

) )

x 1 1 x 与 y=0

1 x B. y = 与y = 2 x x
D. y = log x 1与y = 0 ( )

C. y = x与y=2log2 x

3x 1 , x≤0 5.已知 f ( x) = ,则 f[f(e)]的值等于 ln x, x > 0
A. 3
e 1

B.1

C.

1 9

D.3 ( )

2 6.函数 f(x)= x ( ) x 的零点个数为 3 A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

7.已知函数 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)= x

1 ,那么当 x>0 时,f(x)的表达式 x

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(

)

1 x 1 C. x + x
A. x

1 x 1 D. x + x
B. x

8.设函数 f(x)=log2|x|,则 f(x)的单调递减区间是 ( ) A. (0,1) B. (0,+∞) C. ∞,0) (D. (-1,1) 二,填空题: (本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,把答案写在答卷上相应的横线上) 9.幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m 在(0,+∞)上是减函数,则 f(x)的解析式是 f(x)=* * * * *. 10.函数 y =

2 lg x 的定义域是* * * * *.

11.函数 y= log 4 (x-x2)的单调递增区间是* * * * * . 三,解答题: (本大题共 3 小题,每小题 15 分,共 45 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 12. (本小题 15 分) 已知集合 A={2,a-1}, B={a2-7,-1} ,且 A∩B={2},求实数 a 的值.

13. (本小题 15 分) 已知函数 y= 9
x 1 2

3x + a (a 为常数) ,若 x∈[0, 1]时,函数 y 的最大值为 2,求 a 的值

和函数 y 的最小值.

14. (本小题 15 分)
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x +1 . x 1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)讨论函数 f(x)在区间(1, +∞)上的单调性,并用定义证明之.
已知函数 f ( x) = log a

第 II 卷(模块 1 能力卷,共 50 分)
四,选择填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将正确答案填在答卷上) 15. 有下列四种说法: ①函数 y= 1 3 的值域是{y|y≥0}; ②若集合 A={x|x2-1=0}, B={x|lg(x2-2)=lgx}, 则 A∩B={-1}; ③函数 y=2x 与函数 y=log2x 的图象关于直线 y=x 对称; ④已知 A=B=R,对应法则 f : x → y = 其中你认为不正确的是 .
x

1 ,则对应 f 是从 A 到 B 的映射. x +1
( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 16.某地区土地沙化越来越严重,最*三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷,0.4 万公顷 和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(公顷)关于年数 x 的函数关系较为*似的是( )

A.y=0.2x

B. y =

1 2 2x ( x + 2 x) C. y = 10 10

D.y=0.2+log16x

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17.已知函数 f ( x) =

x 2 + ax + a 在区间[1, +∞]上单调递增,则实数 a 的取值范围是(
B. [ ,+∞)

)

A. [ 2, ]

1 2

1 2

C. [

1 , 2] 2

D. [ 2,+∞)

18.若集合 A={-2},B={x|mx-1=0,m∈R},且 A∪B=A,则 m 的值=* * * * *.19.若函数
1 y = log 2 a 3) x (a > 0且a ≠ ) 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是* * * * *. ( 2

五,解答题: (本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 20. (本小题 10 分) 经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数, 已知前 30 天价格为 f (t ) =

1 t + 30(1 ≤ t ≤ 30, t ∈ N ) , 20 天价格为 (t) (31≤t≤50, 后 f =45 2

t∈N), 且销售量*似地满足 g(t)= -2t+200 (1≤t≤50, t∈N) . (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系式; (2)求日销售额 S 的最大值.

21. (本小题 10 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+x+c,满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+2x-a=0 的 两个实数根分别在区间(-3,-2)和(0,1)内,求实数 a 的取值范围.

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22. (本小题 10 分)

x 已知函数 f(x)=a-log2x (1≤x≤4) , 函数y = [ f ( x)]2 f ( ) ,记函数 y 的最小 2 值为 g(a) . (1)求 g(a)的表达式; (2)作出函数 y=|g(a)|的图象; (3)根据图象回答:当 k 为何实数时,方程|g(a)|-k=0 有两个解,有无穷多个解?

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参考答案
第 I 卷(模块 1 评估卷,共 100 分) 一,选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是正确的) 1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 二,填空题: (本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 9. x-1 10. 100] (0, 11. (0, ]

1 2

三,解答题: (本大题共 3 小题,每小题 15 分,共 45 分) 12. (本小题 15 分) 解:∵A∩B={2} ∴2∈A 且 2 ∈B ∴a2-7=2 ∴a=3 或 a=-3 当 a=3 时,集合 A 中的元素 a-1=2,不符合集合中元素的互异性 ∴a=3 舍去 当 a=-3 时,A={2,-4},B={2,-1},符合已知 A∩B={2}. 综上所述,得:a=-3 13. (本小题 15 分)

1 3x + a = (3x ) 2 3x + a 3 t2 1 3 3 设 3x=t,则 y = t + a = (t ) 2 + a 3 3 2 4 x ∵0≤x≤1 ∴1≤3 ≤3 即 1≤t≤3 3 3 ∴当 1≤t≤ 时,y 是关于 t 的减函数;当 ≤t≤3 时,y 是关于 t 的增函数 2 2 1 ∴当 t=3 时,ymax= × 9 -3+a=2 ∴a=2 3 3 5 3 ∴当 t= 时, ymin = a = 2 4 4 5 故 a=2, ymin = 4 14. (本小题 15 分) x +1 解: (1)∵ f ( x) = log a , ∴f(x)的定义域是{x|x<-1 或 x>1} x 1
解:y= 9 x 9 ∴f(-x)+f(x)= log a



1 2

x +1 x +1 x +1 x +1 + log a = log a ( ) = log a 1 = 0 x 1 x 1 x 1 x 1

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∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (2)∵ f ( x) = log a

x +1 2 = log a (1 + ) x 1 x 1 ∴当 x>1 时,f(x)有意义 ∴当 a>1 时,f(x)在(1, +∞)上单调递减 当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递增 证明如下:设任意的 x1,x2∈(1, +∞)且 x1>x2
则 f ( x1 ) f ( x2 ) = log a

x1 + 1 x +1 ( x + 1)( x2 1) log a 2 = log a 1 x1 1 x2 1 ( x1 1)( x2 + 1)

∴x1>x2>1 ∴x1+1>x2+1>2, x1-1>x2-1>0, x2-x1<0 ∴

( x1 + 1)( x2 1) ( x + 1)( x2 1) ( x1 1)( x2 + 1) 2( x2 x1 ) 1 = 1 = <0 ( x1 1)( x2 + 1) ( x1 1)( x2 + 1) ( x1 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 1) <1 ( x1 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 1) <0 ( x1 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 1) >0 ( x1 1)( x2 + 1)
∴f(x1)<f(x2)

∴0<

∴当 a>1 时, log a

当 0<a<1 时, log a

∴f(x1)>f(x2)

故 当 a>1 时,f(x)在(1, +∞)上单调递减; 当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递增.

2 x1 1 另证: f ( x1 ) f ( x2 ) = log a 2 1+ x2 1 1+
∴x1>x2>1 ∴x1-1>x2-1>0 ∴1 < 1 +

2 2 < 1+ x1 1 x2 1

2 x1 1 ∴0 < <1 2 1+ x2 1 1+
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2 x1 1 ∴当 a>1 时, log 2 <0 2 1+ x2 1 1+ 2 x1 1 当 0<a<1 时, log 2 >0 2 1+ x2 1 1+

∴f(x1)<f(x2)

∴f(x1)>f(x2)

故 在区间(1,+∞)上,当 a>1 时,f(x)单调递减; 当 0<a<1 时,f(x)单调递增. 第 II 卷(模块 1 能力卷,共 50 分) 四,选择填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 15. B 16. C 17. B

1 1 3 19. ( , ) 2 2 2 五,解答题: (本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 20. (本小题 10 分) 解: (1)根据题意得:
18. a = 0或a ≥

1 (2t + 200)( t + 30), 1 ≤ t ≤ 30且t ∈ N S = 2 45(2t + 200), 31 ≤ t ≤ 50且t ∈ N
t 2 + 40t + 6000, 1 ≤ t ≤ 30且t ∈ N = 31 ≤ t ≤ 50且t ∈ N 90t + 9000,
(2)①当 1≤ t≤30 且 t∈N 时,S= -(t-20)2+6400 ∴当 t=20 时 Smax=6400 ②当 31≤ t≤50 且 t∈N 时,S= -90t+900 为减函数 ∴当 t=31 时 Smax=6210 又∵6210<6400 ∴当 t=20 时 Smax=6400 答:日销售额 S 的最大值为 6400. 21. (本小题 10 分) 解:∵f(1)=0 ∴a+1+c=0 ∴c=-a-1 ∴f(x)=ax2+x-a-1 由 f(x)+2x-a=0,得:ax2+3x-2a-1=0 设 g(x)= ax2+3x-2a-1, 则方程 g(x)=0 的两个实根分别在区间(-3,-2)和(0,1)内
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g (3) g (2) < 0 (7 a 10) (2a 7) < 0 ,即 g (0) g (1) < 0 (2a 1) ( a + 2) < 0
10 <a<2 7 10 , 2) 7

7 10 7 <a< 2 ∴ 1 < a < 2 2



故 实数 a 的取值范围是 (

22. (本小题 10 分) 解: (1)∵f(x)=a-log2x(1≤x≤4) ∴

x y = (a log 2 x) 2 (a log 2 ) = (log 2 x) 2 + (1 2a ) log 2 x + a 2 a 1 2
1 ≤ x ≤ 4 x ∵当 x 时,y = [ f ( x)]2 f ( )有意义 2 1 ≤ 2 ≤ 4 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x ≤ 4 又由 x ,得 2 ≤ x ≤ 8 1 ≤ 2 ≤ 4
∴函数 y 的定义域是{x|2≤x≤4} 设 log2x=t,则 1≤ log 2 x ≤ 2 ∴y=t2+(1-2a)t+(a2-a-1)且 1≤ t≤ 2 ∴对称轴为 x = ①若

∴2 ≤ x ≤ 4

2a 1 , 2

2a 1 3 ≤ 1即a ≤ 2 2 则当 t=1 时,ymin=1+(1-2a)+(a2-a-1)=a2-3a+1
② 若1 <

2a 1 3 5 ≤2 即 <a≤ 2 2 2
2a 1 4(a 2 a 1) (1 2a) 2 5 时,ymin = = 2 4 4

则当t =
③若

2a 1 5 > 2 即a > 2 2

则当 t=2 时,ymin=4+(1-2a) × 2+(a2-a-1)=a2-5a+5
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3 2 a 3a + 1, a ≤ 2 3 5 5 综合①②③得: g ( a ) = , <a≤ 2 2 4 5 2 a 5a + 5, a > 2
(2)

(3)由图象得:当 k=0 或 k>

5 5 时,有两个解;当 k= 时,有无穷多个解. 4 4

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